这一篇我们主要讲Android游戏开发中涉及到的数学、物理、AI知识，有了这些基础我们能更好地进行游戏的开发。

一、数学

两点间的距离

在人工智能程序中，智能体可以通过判断敌人与自己的距离来决定发动攻击的时机。

2D场景中的距离公式：

设点P₁(x₁， y₁)和P₂(x₂， y₂)分别为线上的点，他们的距离d的计算方法如下：

3D场景中的距离公式：

在碰撞检测中的应用

可以在游戏中利用圆或球的边界进行碰撞检测。当然也可以利用其他图形。不过圆和球都可以方便地进行数学计算，它们在检测的速度上也优于其他图形。虽然精确度不高，但是可以作为外围检测。

两圆之间，如果两圆心的距离小于两圆的半径和，即发生碰撞。

设两圆方程分别为：(x – h₁)² + (y – k₁)² = r₁²和(x – h₂)² + (y – k₂)² = r₂²。如果：

，则两圆发生碰撞。

由于开方运算会占用大量的处理器资源，所以建议使用平方进行比较。

利用圆边界进行碰撞检测是一种较快的方法，但是极有可能会产生错误的碰撞检测结果，所以避免错误的方法是寻找一种更适合的图形来检测。只要这个图形可以用数学公式表示出来。也可以使用多重圆形进行多重检测，先检测外面的圆，如果发生碰撞则检测内部的圆，减小错误判断的几率。但多重检测会消耗更多的CPU时间。

三角函数

所有的三角函数都是直角三角形中定义的。

常用角度的三角函数值

(角度)	(弧度)	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	/6	0。5	= 0。866	= 0。5774
45	/4	=0。7071	=0。7071	1
60	/3	= 0。866	0。5
90	/2	1	0	不可算
120	2/3	= 0。866	-0。5	-
180		0	-1	0
270	3/2	-1	0	不可算
360	0	0	1	0

 

在真正进入游戏主循环之前，可以建立一个三角函数的查找表，这样在游戏中需要用到三角函数值的时候就不用重新计算，只需进行查表工作就可以，大大加快运行速度。

角的正弦值在第一、第二象限是正值；

角的余弦值在第一、第四象限是正值；

角的正切值在第一、第三象限是正值；

对于所有的反三角函数，如果传入的参数是正值，那么它们的返回值都是正，即意味着该角位于第一象限；如果传入的参数为负数，那么反正弦asin()和反正切atan()的返回角度将位于第四象限，而反余弦acos()的返回角度位于第二象限。

二、物理

一维空间运动

物体只要移动就会有速率，速率是用来表示物体运动的快慢。相应的，如果一个物体有速率，那么它就会有速度，速度是速率的向量形式。即速度是有方向的速率。

匀速运动的公式：

位移 = 速度 × 时间 (D = v * t)

路程 = 速率 × 时间 (S = v * t)

平均速度：

加速度

加速度用来衡量速率的变化快慢程度。

v_f表示末速度，v_i表示初速度。

t_f表示末速度对应的时间，v_i表示初速度对应的时间。

如果a的方向和v一致，那么表示加速运动，如果相反，表示减速运动。

力

当我们准备用程序来模拟物体的运动时，首先要对我们所要移动的物体进行受力分析。物体所受力的总和决定了它的运动模式。

重力

物体运动的竖直分量加速度为-g或-9。8m/s²。我们可以利用重力加速度和物体的质量求出物体所受重力。重力是一个向量，方向指向地心。

重力公式：

w = mg 其中m是物体质量，g是重力加速度。

如果在游戏编程中，在不同星球之间切换，要考虑各个星球的不同重力加速度。

重力的单位是牛顿，记为N，1N = 1kg×m/s²。

支持力

支持力作用在物体表面，抵消重力并保证它不向下落。支持力是正交的，总是垂直于物体表面。

对于斜面上的物体，支持力减小了物体竖直方向的加速度。

摩擦力

摩擦力分为两种形式，静摩擦力和滑动摩擦力。

静摩擦力可以使物体保持稳定的状态，而滑动摩擦力则可以使物体减速。

如果物体所受的其他力总和小于静摩擦力，那么物体保持静止。一旦其他的力大于静摩擦力，物体开始运动，静摩擦力就变成滑动摩擦力。两种摩擦力都取决于它们的接触面。接触面越光滑，摩擦力越小。

要计算摩擦力，就必须知道摩擦系数。

静摩擦力：

其中N为支持力。

滑动摩擦力：

其中N为支持力。

牛顿定律

牛顿第一定律：当物体所受合力为0时，它将保持原有的运动状态不变。

牛顿第二定律：F_net = ma。F是合力，m是物体质量，a是物体的加速度。

即，① 一个物体受到合力越大，速度改变得越快。

② 如果两个物体受到的合力相同，那么质量小的物体速度改变更快。

牛顿第三定律：对于每个力，都有一个与之方向相反、大小相同的反作用力。

动量和碰撞

跟静止物体的碰撞

和静止物体的碰撞可以用向量反射来研究物体的运动，这种运动存在着一种对称性，球射入的角度必然等于它射出的角度，即入射角等于反射角。

向量的轴平行反射

如果边是竖直方向的，则v_f = [-v_ix， v_iy];

如果边是水平方向的，则v_f = [v_ix， -v_iy];

入射向量：v_i = [v_ix， v_iy]。

向量的非轴平行反射

如右图：球的入射方向为v_i，求射出方向v_f

先给公式：v_f = 2·P + v_i

其中v_i是初速度，P为-vi基于分界线法线的发射向量。

1. 写出边界B的矩阵[Δx Δy];
2. 求出边界的垂直向量N = [Δy -Δx];
3. 将N单位化得N' = [Δy / ||N|| -Δx/||N||];
4. 求发射向量P，P=(-v_i·N')·N'
5. 计算反射向量v_f，v_f = 2·P + v_i

动量和冲量

动量

P = mv，其中m是物体的质量，v是物体的速度。

如果物体的速度用矩阵表示，那么物体的动量也用矩阵表示。

冲量

冲量 = Ft = Δp，其中F是合力，t是时间，Δp是动量增量。

碰撞建模

动量定理的变形：

m1v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f

下标1表示第一个物体，下标2表示第二个物体。

每个碰撞的情况都介于弹性碰撞和非弹性碰撞之间。弹性碰撞是一种没有动量损失的碰撞。但现实中的碰撞往往伴随着能量损失，因此可以用还原系数ε来表示能量损失的大小。

(v_1f – v_2f) = -ε(v_1i – v_2i) 0<ε<1

三、AI

AI的定义

首先我们需要明白AI是什么，AI全称是Actificial Intelligence人工智能。其实这一词汇并非为游戏制作而产生，对于它的研究是广而且深的，它包含着机器视觉到专家系统等一大系列，当然我们没必要去细细了解它，我们仅仅需要了解的就是它对游戏制作有关的着一部分。

游戏规则分为三大部分，规则对象，规则事件和相应规则。而我们所述说的对象主要是玩家控制的角色，当然非控制角色也有着自己的规则和事件，这时就需要我们赋予它们以类似于人类的智能。所以我们可以简化为一句话:让游戏中的NPC获得分析，判断的能力，并进行相应行为的设计，我们称之为游戏AI设计。

游戏中AI设计的目的

首先我们可以看一个GDC(Game Development Conference)上对游戏业界中AI技术的调查年份游戏公司中拥有专门负责AI小组的公司百分比 游戏中用于AI运算的CPU资源

2007	24%	5%
2008	46%	10%
2009	80%	25%

从中可见，游戏中AI发展十分迅猛，游戏的AI更加受到各个游戏制作公司的重视。而它为什么这么受到亲睐和重视呢?AI对游戏起到了什么作用呢?

1、增加玩家的挑战性

在许多以前的老游戏中，大家可以发现其中并没有很多的AI痕迹。例如<超级玛丽>吧，里面的怪物出现种类，顺序，行走方式丝毫没有受到玩家的行为改变而做出相应的改变，大家若是能花一定的时间去熟悉这款游戏，了解了其中的怪物的出现点，出现时间，游戏将很容易通关。(当然游戏设计者为避免这样的情况，设计了极其精巧的地图来弥补AI的不足)。而现在很多游戏中，敌人NPC并非一成不变的按照已定的路线进行移动，他们根据玩家的行为做出相应的判断并且行动，在更大的范围内他们拥有着一定的"自主性"。例如CS中的NPC。

对玩家来说，对付复杂AI的敌人需要更高的技巧，挑战性有一定程度的增加。

2、创造更真实的虚拟世界

不清楚大家是否玩过原版的CS，其实原本CS中的NPC还是比较愚蠢的，他们只会走相对固定的路线，对突发事件的反应能力也相对较差，通常只要我们在背后游戏了某一NPC，即使你枪法较差，它们也很难有存活的机会，或许，它们根本就不会回头。而经过一系列的发展修正后，现在CS中MPC不再那么好对付了，他们在背后受到攻击后，会很快时间内做出回头攻击的行为，甚至还会"说话"发出信息告诉其他NPC请求援军，这更类似于玩家的行为。

我们在翻以前的游戏时或许能想起某些游戏中，NPC角色会被卡在一块石头或树木前，傻傻的撞着树走，而不会饶个圈子走过去，这将使玩家看低这款游戏，"太假了，无聊"我们可能会发出这样的感叹而宣告这款游戏的卸载。在现在游戏则很少见到这种情况，多种"寻路法"的计算已是游戏程序员们最基本的一种要求。

3、增加游戏的可玩性

为什么CS，魔兽争霸等游戏，人们更喜欢上游戏平台，战网与人对战，因为与人对战有更多的风格，有更多的不可预料性，玩家在追求这种未知的结果。如果一部电影在开始时我们就已知其中结局，我们对它的热情就会丧失，我们游戏也是一样的。

使NPC更加具有AI，更模拟人类的思维，行为，可以使玩家拥有更多的不可预料性，给玩家一种惊奇感，新鲜感。而实际上我们的做法是给NPC的一定的AI套路选择，例如:根据自身HP的多少，来进行"勇猛直前，边战边退，逃命要紧"等各类的AI算法的选择，将使玩家无法准确的推测NPC的行动，可玩性得到了发挥。

4、辅助其他功能

举个例子:假若我们玩一款游戏，控制角色进入了一个城市，而发现这里的敌人和其他地方的敌人AI截然不同，他们即使HP很少也会努力冲锋攻击着玩家，我们玩家会产生一种疑问，到底是什么驱使他们如此疯狂?这容易以另一种手法来激发出我们的好奇心，之后再以其他信息来告诉玩家这个村子之前遭受过外族攻击屠戮，所以人们都变的仇视侵略，勇于牺牲等，我们玩家也更加容易接受。AI设计间接的对剧情做出了介绍。

又如<三国志>系列，人物分为勇猛，果断，冷静等特性，在平时，这将影响他们的忠诚度变化，在战斗时将影响它们自动战斗的风格，当然也根据他们的AI不同，玩家进行某种举措时，武将也将给予不同的反映，客观上又体现了角色的特性。

AI设计的类型

1、FSM(Finite State Machine)有限状态机。这是最简单也最古老的AI技术，如果懂得程序的人员，可以将其简单的理解为一套if，else或者 switch，case构成的条件判断。

我这里依旧拿原先的例子来说:

例:角色种类:熊类

case1:当与玩家距离50Pixel范围内，警戒(警戒当然是种状态，属于行为规则)

case2:当与玩家距离10Pixel范围内，主动攻击最近者

case3:当受到攻击，立即攻击攻击者

case4:攻击过程中，优先攻击对方队伍中最少HP人员

case5:当攻击目标消失或死亡，则攻击10Pixel范围内最近者

case6:当与攻击目标距离10Pixel内，追随攻击

case7:当与攻击目标距离10Pixel外，警戒

case8:当与攻击目标距离50Pixel外，返回初始点，在一定范围内随机移动

这可以说是比较典型的FSM设计，无论玩家做出什么行为，都有一套AI规则进行判断和行为，而且，仅仅是一套。不会有一种行为对应两套规则的可能。当然，这样即使加入更多的判断可能，我们也很容易觉得单调，因为确定性太强了，这就需要我们更多的引入随机性，即我们下面说的

2、FuSM(Fuzzy State Machine)模糊状态机。对于它的名词解释或许会很复杂饶口，而我们没必要去关系那些，我们可以最简单的理解其真意:就是在FSM中加入随机特性。

随机特性很早就在D&D中有过体现，在原先的帖子中有朋友评论说我举例不当，D&D不仅仅只有一个世界设定，我想他说的是正确的，D&D的最大特色还有一个就是骰子系统，这个系统我更愿意说成是随机系统。在FSM中加入随机系统，将减少了其规范性，而加大了游戏的不确定性。我这里拿上面的例子加以补充，

case2:当与玩家距离10Pixel范围内，80%几率主动攻击最近者，20%几率逃跑至玩家反方向10Pixel并警戒。

当然可以加入更多的百分比判断可能，我这里仅做出最简单的FuSM设计，

你可能觉得这并没什么，不就是多加入一个判断么?

然而扩展的来想，假如一个NPC是90%几率攻击，那么我们可以确定它为勇猛的(可设置老虎)，若是60%几率逃跑，那么我们可以确定它是狡猾的或者怯懦的(可设置狐狸兔子)，这样将更大程度上突出NPC的特点。

当然，我们可以再加入新的判断，当HP低于30%时，有60%几率放弃战斗逃跑，当HP低于10%时，将有90%几率放弃战斗逃跑，这也将大大加大游戏的可玩性。

细心的朋友会发现，我上面无论是逃跑还是攻击，都是给定的一个百分比，而实际上我们可以采取更模糊的方法，就是使用随机数，大部分游戏设计中都会使用一个函数"Random"，无论是C++，JAVA，Ruby我们都有这个系统函数，它将生成一个一定范围内的数，我们用它来控制NPC的行为几率的话，更会有更大的不确定性。

而且使用FuSM还有一个最大的好处，它将简化我们的策划工作。 没错，是简化，我们没有必要去专门为每一类的NPC设置各自不同的规范了，我们需要做的仅仅是调整其随机数的范围，调整其百分比就可以获得性格种类迥异的NPC了。

3、可扩展性AI。这个概念可能会很大程度上引起的兴趣，而实际上它并非那么神秘，我们RM使用者实际上一直在接触着它。看这帖子的朋友里我相信有相当一部门并不懂得编程，而实际上，程序员们不关心游戏中的平衡问题，他们需要做的仅仅是实现游戏的功能，至于以如何使用百分比来控制游戏进程，他们一点也不管。那么我们开始罗嗦了这么久的FSM，FuSM是给谁看的?呵呵，是给策划看的，是给我们自己看的。是的，这样做仅仅是方便我们的调整和逻辑判断。通常，程序员们会制作一套工具来让我们进行设置和测试，而这套工具就是可扩展性AI。

当然，我们RM整个工具，我们可以说是引擎，而它若拥有了关于NPC行为规定的百分比摸版的话，那么那部分就是可扩展性AI。然而就我对RM的理解来说，在不修改RGSS的原则下，我们纯靠事件来制作FuSM设计是比较困难的，更期待Ruby高手能够加入相应的支持。

4、神经元网络。它是生理学上的真实人脑神经网络的结构和功能，以及若干基本特性的某种理论抽象、简化和模拟而构成的一种信息处理系统 。从我的理解上来说，它偏靠程序方面的东西实在太多，误差反传训练算法，BP算法，RFNN都非三言两语能够说明的，我在此依旧不再赘述，有兴趣的朋友可以上网自行查找。

AI流程图说明

我们是说策划文档的，当然就这方面要多说一些。

通常，我们做AI部分的设计说明时，很少象我这样使用条目型的文字说明，因为它过于浪费时间，而且条理性不足，我们更多的使用的流程图，这也是开始我要求大家尽可能的使用Visio的原因。当然，大家也可以使用Word来制作流程图，但个人认为过于复杂，不如Visio好用。